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<!DOCTYPE html>

<title>Satz von Abel-Ruffini</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Satz von Abel-Ruffini</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Der mathematische Satz von Abel-Ruffini besagt, dass die allgemeine <a href="Polynomgleichung" class="mw-redirect" title="Polynomgleichung">Polynomgleichung</a> fünften oder höheren Grades nicht durch <a href="Radikal_(Mathematik)" title="Radikal (Mathematik)">Radikale</a>, d. h. <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzelausdrücke</a>, auflösbar ist. In älterer Literatur wird er auch gelegentlich als „Abelscher Unmöglichkeitssatz“ bezeichnet.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der erste Beweis dieses Satzes wurde von <a href="Paolo_Ruffini_(Mathematiker)" title="Paolo Ruffini (Mathematiker)">Paolo Ruffini</a> im Jahr 1799 veröffentlicht. Dieser Beweis war jedoch lückenhaft und wurde zudem weitgehend ignoriert. Ein vollständiger Beweis gelang 1824 <a href="Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a>.

Tieferen Einblick in das Problem gewährt die wenig später von <a href="%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a> entwickelte <a href="Galoistheorie" title="Galoistheorie">Galoistheorie</a>. Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie müssen zum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:

<ul><li>Die allgemeine Gleichung fünften Grades (d. h. die Gleichung mit Unbestimmten als Koeffizienten) besitzt als <a href="Galoisgruppe" title="Galoisgruppe">Galoisgruppe</a> die <a href="Symmetrische_Gruppe" title="Symmetrische Gruppe">symmetrische Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{5}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d113353a42f71fc5e7154ddef2257079ab2e25a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{5}}" loading="lazy"></li>

<li>Die symmetrische Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{5}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d113353a42f71fc5e7154ddef2257079ab2e25a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{5}}" loading="lazy"> ist nicht <a href="Aufl%C3%B6sbare_Gruppe" title="Auflösbare Gruppe">auflösbar</a>, denn sie enthält als einzigen echten Normalteiler die <a href="Alternierende_Gruppe" title="Alternierende Gruppe">alternierende Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{5}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e213bbb69691c65e1391fe16cd79a0029471446.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{5}}" loading="lazy"> von der Ordnung 60, und diese ist <a href="Endliche_einfache_Gruppe#Definition" title="Endliche einfache Gruppe">einfach</a> und nicht von <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahlordnung</a> (also nicht (prim)zyklisch, mithin nicht abelsch).</li></ul>

Da für die Auflösbarkeit einer Gleichung durch Radikale gemäß der Theorie von Évariste Galois gerade die Auflösbarkeit der Galoisgruppe das entscheidende Kriterium darstellt,<a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> ist also die allgemeine Gleichung fünften Grades (und höher) nicht durch Radikale auflösbar.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formulierung_des_Satzes">Formulierung des Satzes</h2></div>

Das allgemeine Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> bzw. die allgemeine Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e03576b2fd0542831577a313eeede5f297703d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)=0}" loading="lazy"> vom Grade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> betrachtet das Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)=X^{n}+s_{1}X^{n-1}+s_{2}X^{n-2}+\dots s_{n-1}X+s_{n}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=X^{n}+s_{1}X^{n-1}+s_{2}X^{n-2}+\dots s_{n-1}X+s_{n}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5269257a16ac38ba72a7901e3566c9c0857f6c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:64.3ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)=X^{n}+s_{1}X^{n-1}+s_{2}X^{n-2}+\dots s_{n-1}X+s_{n}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})}" loading="lazy"> über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {L} :=K(x_{1},\dots ,x_{n})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {L} :=K(x_{1},\dots ,x_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8b2602b0ad4c7fbc92c870d0040b5adcca595e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {L} :=K(x_{1},\dots ,x_{n})}" loading="lazy"> der gebrochen rationalen Polynomen in den Unbestimmten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">, also über dem <a href="Quotientenk%C3%B6rper" title="Quotientenkörper">Quotientenkörper</a> des <a href="Integrit%C3%A4tsring" title="Integritätsring">Integritätsringes</a> der ganzrationalen Polynome (über einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">) in diesen Unbestimmten. Dabei sind die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfda82668232cbdc0874ed28ab8b6079420d1ffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.89ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{i}}" loading="lazy"> nicht beliebig gewählte rationale Polynome in den Unbestimmten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">, sondern es sind die <a href="Elementarsymmetrisches_Polynom" title="Elementarsymmetrisches Polynom">elementarsymmetrischen Polynomen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b37c72040eb5d9693cc6fad7a85c3ca1e39521e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}" loading="lazy"> der Nullstellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> des Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy">. Diese sind algebraisch unabhängig über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> Aufgrund des <a href="Elementarsymmetrisches_Polynom#Eigenschaften" title="Elementarsymmetrisches Polynom">Hauptsatzes über elementarsymmetrische Funktionen</a> besteht der Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} :=K(s_{1},\dots ,s_{n})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} :=K(s_{1},\dots ,s_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e43b2396ca7833652b753836af29f1c448f21424.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} :=K(s_{1},\dots ,s_{n})}" loading="lazy"> aus allen denjenigen rationalen Polynomen („Funktionen“) aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {L} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {L} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c54e1ea2df1f3d345e5ecea9313712f999d3955.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {L} }" loading="lazy">, die symmetrisch in den Unbestimmten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> sind. Das allgemeine Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> besitzt also Koeffizienten aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy"> und sein <a href="Zerf%C3%A4llungsk%C3%B6rper" title="Zerfällungskörper">Zerfällungskörper</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {L} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {L} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c54e1ea2df1f3d345e5ecea9313712f999d3955.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {L} }" loading="lazy">.

Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass die Nullstellen des allgemeinen Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> vom Grade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5}" loading="lazy"> oder höher nicht durch Radikale in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy"> darstellbar sind.<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a><a href="#cite_note-8">[8]</a>

Wie oben erwähnt, genügt (aus moderner Sicht) zum Beweis des Satzes nachzuweisen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {L} /\mathbb {K} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {L} /\mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c260e38e5feaeadbab86cc7749faf5f86a9329fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.521ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {L} /\mathbb {K} }" loading="lazy"> eine Galoiserweiterung ist und seine Galoisgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(\mathbb {L} /\mathbb {K} )}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(\mathbb {L} /\mathbb {K} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bd06a9cc62d511715caf7248deaf9dcfaab6965.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.157ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(\mathbb {L} /\mathbb {K} )}" loading="lazy"> isomorph zur vollen symmetrischen Gruppe vom Grade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">. Da diese nicht auflösbar ist, folgt der Satz von Abel-Ruffini aufgrund von Ergebnissen der <a href="Galoistheorie" title="Galoistheorie">Galoistheorie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen_zur_Abgrenzung_der_Aussage">Anmerkungen zur Abgrenzung der Aussage</h2></div>

Aus dem Satz von Abel-Ruffini folgt daher nicht unmittelbar (die scheinbar naheliegende und an sich richtige Tatsache<a href="#cite_note-9">[Anm 1]</a>), dass beliebige ganzzahlige (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7d60fc180e76c47f663220cdb9ff8c6f564c0f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.413ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R=\mathbb {Z} }" loading="lazy">) oder rationalzahlige (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12b43744f565d72e29b61ebcc9c452f73d3c2cd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.671ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R=\mathbb {Q} }" loading="lazy">) Polynome <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)\in R[X]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)\in R[X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d22d758c57961bb33e6a73ddba26163b797510d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)\in R[X]}" loading="lazy"> grundsätzlich nicht durch Radikale lösbar wären, wenn sie nur „hinreichend allgemein“ gewählt sind<a href="#cite_note-10">[9]</a> – im Gegenteil: Das Auflösbarkeitskriterium der Galois-Theorie zeigt, dass die Nullstellen von Polynomen mit auflösbarer Galoisgruppe durch Radikale darstellbar sind, das heißt, dass ihre Zerfällungskörper „Radikalkörper“ sind. Mit anderen Worten: Auflösbare Galois-Erweiterungen sind Radikalkörper und jedes Element solcher Körper lässt sich durch Radikale über dem Grundkörper darstellen.

Es gibt Sätze, mit deren Hilfe es, ohne erst die Galoisgruppe bestimmen zu müssen, leicht möglich ist, Polynome anzugeben (oder zu erkennen), die keine auflösbare Galoisgruppe haben und deren Nullstellen folglich nicht durch Radikale dargestellt werden können. Doch diese Sätze folgen nicht etwa aus dem Satz von Abel-Ruffini, sondern aus der Galoistheorie.<a href="#cite_note-11">[Anm 2]</a>

Laut <a href="Nathan_Jacobson" title="Nathan Jacobson">Nathan Jacobson</a> („Basic Algebra I“) geht der folgende Satz auf Galois zurück:<a href="#cite_note-12">[10]</a><a href="#cite_note-13">[11]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)\in K[X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06edc406bb6106da0dc24ab15c140380e23ddff4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.248ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)\in K[X]}" loading="lazy"> ein <a href="Irreduzibles_Polynom" title="Irreduzibles Polynom">irreduzibles Polynom</a> von primem Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \deg f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \deg f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f194fcb353ccf18cf61c0b9533e2016ac974501b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.153ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \deg f}" loading="lazy"> über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> der Charakteristik Null (beispielsweise ein rationales Polynom) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> sei sein Zerfällungskörper. Dann sind äquivalent:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e03576b2fd0542831577a313eeede5f297703d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)=0}" loading="lazy"> ist durch Radikale lösbar.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=K[x_{i},x_{j}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/805dc5b4a94ffa81ecfb194beea3f9c2e019efa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.444ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L=K[x_{i},x_{j}]}" loading="lazy"> für irgend zwei Wurzeln von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc68b015c7d9bf4a3e7d0ba892dd60d3ca6d4a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.99ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}" loading="lazy"> neben zwei reellen Wurzeln eine weitere nicht-reelle (also komplexe Wurzel), so ist die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e03576b2fd0542831577a313eeede5f297703d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)=0}" loading="lazy"> zwangsläufig nicht durch Radikale auflösbar.</dd></dl>

Der folgende Satz<a href="#cite_note-14">[12]</a> verschärft diese Aussage über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=\mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=\mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0854290031d92bf519f3ed79754edbe3eec1db77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.973ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K=\mathbb {Q} }" loading="lazy">: Besitzt das irreduzible Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc68b015c7d9bf4a3e7d0ba892dd60d3ca6d4a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.99ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}" loading="lazy"> von Primzahlgrad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=\deg f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=\deg f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53df0eaf0f06d6ee3b0615672263378c155aa440.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=\deg f}" loading="lazy"> genau zwei reelle Wurzeln, so besteht seine Galoisgruppe aus der vollen Permutationsgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{q}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66227ac26289a99fd55f640226b18e977d4bf9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{q}}" loading="lazy"> seiner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> Wurzeln.

Ganzzahlige Polynome fünften Grades mit gewissen Eigenschaften besitzen die volle Permutationsgruppe ihrer Wurzeln als Galoisgruppe:<a href="#cite_note-15">[13]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> eine ungerade Primzahl. Für das Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)=X^{5}+2q\,a_{1}\,X^{4}+2q\,a_{2}\,X^{3}+2q\,a_{3}\,X^{2}+q\,a_{4}\,X+q\,a_{5}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=X^{5}+2q\,a_{1}\,X^{4}+2q\,a_{2}\,X^{3}+2q\,a_{3}\,X^{2}+q\,a_{4}\,X+q\,a_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dbe3e23b242b704d221791fe7a0e46bb857d3a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.292ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(X)=X^{5}+2q\,a_{1}\,X^{4}+2q\,a_{2}\,X^{3}+2q\,a_{3}\,X^{2}+q\,a_{4}\,X+q\,a_{5}}" loading="lazy"> mit ganzen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> gelte:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{4}\cdot a_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8067316fef71187dfa03cb4ff4a5aaea13c56768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.247ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{4}\cdot a_{3}}" loading="lazy"> ist ungerade und</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c8009bf62d3e32fef185d63ee7039384e54be05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{5}}" loading="lazy"> ist kein Vielfaches von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

<dl><dd>Dann ist die Galoisgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(f(X),\mathbb {Q} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(f(X),\mathbb {Q} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf42c7469a61935a9dc8850fd3a070de4e18674a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(f(X),\mathbb {Q} )}" loading="lazy"> des Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> isomorph zur vollen symmetrischen Gruppe fünften Grades und daher nicht auflösbar. Daher ist auch die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e03576b2fd0542831577a313eeede5f297703d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)=0}" loading="lazy"> nicht durch Radikale auflösbar.</dd></dl>

Der folgende Satz betrachtet gewisse ganzzahlige Polynome von Primzahlgrad:<a href="#cite_note-16">[14]</a>

<ul><li>Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q,p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q,p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/627dc191d1963a5c366afb06e634387e1d5a5a5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.273ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q,p}" loading="lazy"> Primzahlen. Das irreduzible Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b6cfd8fcf6692b2d79c491aa89bcc002d161c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.733ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}" loading="lazy"> besitze den Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> und das modulo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> reduzierte Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}(X)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4478d995901b7a623dc34bb21380b76f55ce187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.273ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}(X)}" loading="lazy"> über dem Galoisfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {Z} /(p\mathbb {Z} )}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {Z} /(p\mathbb {Z} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee1fb8cb82a3fea2b940ec0a033c35f3354eac5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.82ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {Z} /(p\mathbb {Z} )}" loading="lazy"> zerfalle in einen quadratischen und einen Primfaktor vom Grade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q-2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dc973ed9054d0e1b231e8758a906d014fbaf482.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.072ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q-2}" loading="lazy">. Dann ist die Galoisgruppe des Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> nicht auflösbar.</li></ul>

<a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a><a href="#cite_note-17">[15]</a> notiert in diesem Kontext den folgenden Satz:

<ul><li>Eine transitive Permutationsgruppe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Objekten die einen Zweierzyklus und einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}" loading="lazy">-Zyklus enthält, ist die symmetrische Gruppe.</li></ul>

<dl><dd>Mit anderen Worten: Enthält die Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms einen Automorphismus, der lediglich zwei seiner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> verschiedenen Wurzeln vertauscht (transponiert), und ferner eine zyklische Untergruppe der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" loading="lazy">, so handelt es sich bei der Galoisgruppe des Polynoms um die volle Permutationsgruppe vom Grade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">.</dd></dl>

Van der Waerden erwähnt, dass man mit dieser Methode nicht nur beweisen kann, „daß es Gleichungen mit symmetrischer Gruppe gibt, sondern noch mehr, nämlich daß asymptotisch 100 % aller ganzzahligen Gleichungen, deren Koeffizienten eine Schranke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">, die gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"> strebt, nicht überschreiten, die symmetrische Gruppe haben. Siehe B. L. v. d. Waerden, Math. Ann. 109 (1931), S. 13.“

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Vgl. hierzu den unten erwähnten Satz von <a href="Van_der_Waerden" class="mw-redirect" title="Van der Waerden">van der Waerden</a> über ein asymptotisches Verhalten der Galoisgruppe, siehe <a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 66 Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit symmetrischer Gruppe, S. 202–204 (272 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+VIII+Die+Theorie+von+Galois%27%27%2C+%C2%A7+66+%27%27Die+Berechnung+der+Galoisschen+Gruppe.+Gleichungen+mit+symmetrischer+Gruppe&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540035613&rft.pages=202-204&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Vgl. <a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel§6nbsp;6 Anwendungen der Galois-Theorie, Abschnitt§ 4.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen, Theorem 6, Korollar 8 bis Abschnittsende, S. 361–366, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel%C2%A76nbsp%3B6+Anwendungen+der+Galois-Theorie%27%27%2C+Abschnitt%C2%A7+4.1+%27%27Aufl%C3%B6sbarkeit+algebraischer+Gleichungen%2C+Theorem+6%2C+Korollar+8+bis+Abschnittsende&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662674635&rft.pages=361-366&rft.pub=Springer" style="display:none">  Dort ist die Tatsache, dass es nicht auflösbare Gleichungen (Körpererweiterungen) gibt, als Korollar 8 zu Theorem 6 formuliert.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Siehe <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Algebra vom höheren Standpunkt</cite> (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 930). Walter de Gruyter & Co, Leipzig 1939, Abschnitt VI „Metazyklische und Radikalkörper“ § §36 „Der Abelsche Unmöglichkeitssatz. Allgemeine Gleichung“, S. 118 (143 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+VI+%E2%80%9EMetazyklische+und+Radikalk%C3%B6rper%E2%80%9C+%C2%A7+%C2%A736+%E2%80%9EDer+Abelsche+Unm%C3%B6glichkeitssatz.+Allgemeine+Gleichung%E2%80%9C&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+Algebra+vom+h%C3%B6heren+Standpunkt&rft.date=1939&rft.genre=bookitem&rft.pages=118&rft.place=Leipzig&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, 6 Anwendungen der Galois-Theorie, 6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen, Theorem 6, S. 361, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=6+Anwendungen+der+Galois-Theorie%2C+6.1+Aufl%C3%B6sbarkeit+algebraischer+Gleichungen%2C+Theorem+6&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662674635&rft.pages=361&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Algebra vom höheren Standpunkt</cite> (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 930). Walter de Gruyter & Co, Leipzig 1939, Abschnitt VI „Metazyklische und Radikalkörper“ § 35 „Metazyklishe Körper und Radikalkörper“, „Fundamentaltheorem“, S. 116 (143 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+VI+%E2%80%9EMetazyklische+und+Radikalk%C3%B6rper%E2%80%9C++%C2%A7+35+%E2%80%9EMetazyklishe+K%C3%B6rper+und+Radikalk%C3%B6rper%E2%80%9C%2C+%E2%80%9EFundamentaltheorem%E2%80%9C&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+Algebra+vom+h%C3%B6heren+Standpunkt&rft.date=1939&rft.genre=bookitem&rft.pages=116&rft.place=Leipzig&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Vgl. <a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 63 Die allgemeine Gleichung n-ten Grades, S. 189 f. (272 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+VIII+Die+Theorie+von+Galois%27%27%2C+%C2%A7+63+%27%27Die+allgemeine+Gleichung+n-ten+Grades&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540035613&rft.pages=189f.&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4. Galois-Theorie Abschnitt 4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung Satz 3, S. 222, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+4.+Galois-Theorie%27%27+Abschnitt+4.3+%27%27Die+Galois-Gruppe+einer+Gleichung+Satz+3&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662674635&rft.pages=222&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Vgl. <a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 63 Die allgemeine Gleichung n-ten Grades, S. 189 f. (272 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+VIII+Die+Theorie+von+Galois%27%27%2C+%C2%A7+63+%27%27Die+allgemeine+Gleichung+n-ten+Grades&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540035613&rft.pages=189f.&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4. Galois-Theorie Abschnitt 4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung Satz 4, S. 223, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+4.+Galois-Theorie+Abschnitt%27%27+4.3+%27%27Die+Galois-Gruppe+einer+Gleichung+Satz+4&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662674635&rft.pages=223&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Algebra vom höheren Standpunkt</cite> (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 930). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co (Erstauflage 1939), Berlin 1952, Abschnitt VI § 36 Der Abelsche Unmöglichkeitssatz. Allgemeine Gleichung, darin der „Struktursatz“ mit nachfolgenden Überlegungen, S. 118 f. (143 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+VI+%C2%A7+36+Der+Abelsche+Unm%C3%B6glichkeitssatz.+Allgemeine+Gleichung%2C+darin+der++%E2%80%9EStruktursatz%E2%80%9C+mit+nachfolgenden+%C3%9Cberlegungen&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+Algebra+vom+h%C3%B6heren+Standpunkt&rft.date=1952&rft.edition=2.&rft.genre=bookitem&rft.pages=118f.&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co+%28Erstauflage+1939%29&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Vgl. <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Algebra vom höheren Standpunkt</cite>. Band I (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 930). Walter de Gruyter & Co, Leipzig 1939, Abschnitt VI § 36, Fußnote 1, S. 118 (143 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+VI+%C2%A7+36%2C+Fu%C3%9Fnote+1&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+Algebra+vom+h%C3%B6heren+Standpunkt&rft.date=1939&rft.genre=bookitem&rft.pages=118&rft.place=Leipzig&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="Nathan_Jacobson" title="Nathan Jacobson">Nathan Jacobson</a>: <cite style="font-style:italic">Basic Algebra I</cite>. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1974, ISBN 0-7167-0453-6, Chapter 4 Galois Theory of Equations Section 4.2 Galois Group as Permutation Group of the Roots, Exercise 15 („Galois“), S. 254 (472 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Chapter+4+Galois+Theory+of+Equations%27%27+Section+4.2+%27%27Galois+Group+as+Permutation+Group+of+the+Roots%2C+Exercise+15+%28%E2%80%9EGalois%E2%80%9C%29&rft.au=Nathan+Jacobson&rft.btitle=Basic+Algebra+I&rft.date=1974&rft.genre=bookitem&rft.isbn=0716704536&rft.pages=254&rft.place=San+Francisco&rft.pub=W.+H.+Freeman+and+Company" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Vgl. auch <a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 6 Anwendungen der Galois-Theorie, Abchnitt 6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen, Satz 11 und nachfolgende Absätze, S. 365 f., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+6+Anwendungen+der+Galois-Theorie%27%27%2C+Abchnitt+6.1+%27%27Aufl%C3%B6sbarkeit+algebraischer+Gleichungen%2C+Satz+11+und+nachfolgende+Abs%C3%A4tze&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662674635&rft.pages=365f.&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Siehe <a class="external text" href="https://de.wikiversity.org/wiki/Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt">Wikiversity</a>

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare und klassische Algebra</cite>. Band II (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt III Berechnungsprobleme und Homomorphiesätze § 23 Endliche Körper, Satz 6, S. 81 (132 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+III+Berechnungsprobleme+und+Homomorphies%C3%A4tze%27%27+%C2%A7+23+%27%27Endliche+K%C3%B6rper%2C+Satz+6&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+und+klassische+Algebra&rft.date=1959&rft.genre=bookitem&rft.pages=81&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare und klassische Algebra</cite>. Band II (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt III Berechnungsprobleme und Homomorphiesätze § 23 Endliche Körper, Satz 7, S. 82 (132 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Abschnitt+III+Berechnungsprobleme+und+Homomorphies%C3%A4tze%27%27+%C2%A7+23+%27%27Endliche+K%C3%B6rper%2C+Satz+7&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+und+klassische+Algebra&rft.date=1959&rft.genre=bookitem&rft.pages=82&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> <a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 66 Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit symmetrischer Gruppe, S. 202–204 (272 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+VIII+Die+Theorie+von+Galois%27%27%2C+%C2%A7+66+%27%27Die+Berechnung+der+Galoisschen+Gruppe.+Gleichungen+mit+symmetrischer+Gruppe&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.+Auflage&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540035613&rft.pages=202-204&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="J%C3%B6rg_Bewersdorff" title="Jörg Bewersdorff">Jörg Bewersdorff</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie</cite>. 5. Auflage. Springer Spektrum, 2013, ISBN 978-3-658-02261-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-658-02262-4">10.1007/978-3-658-02262-4</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=J%C3%B6rg+Bewersdorff&rft.btitle=Algebra+f%C3%BCr+Einsteiger%3A+Von+der+Gleichungsaufl%C3%B6sung+zur+Galois-Theorie&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2F978-3-658-02262-4&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783658022617&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none"> </li>

<li>Peter Pesic: <cite style="font-style:italic">Abels Beweis</cite>. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-22285-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-27309-7">10.1007/978-3-540-27309-7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=Peter+Pesic&rft.btitle=Abels+Beweis&rft.date=2005&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-27309-7&rft.genre=book&rft.isbn=3540222855&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Jean-Pierre_Tignol" title="Jean-Pierre Tignol">Jean-Pierre Tignol</a>: <cite style="font-style:italic">Galois' Theory of Algebraic Equations</cite>. (Reprint). World Scientific, Singapore u. a. 2004, ISBN 981-02-4541-6, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1142/9789812384904">10.1142/9789812384904</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=Jean-Pierre+Tignol&rft.btitle=Galois%27+Theory+of+Algebraic+Equations&rft.date=2004&rft.doi=10.1142%2F9789812384904&rft.genre=book&rft.isbn=9810245416&rft.place=Singapore+u.+a.&rft.pub=World+Scientific" style="display:none"> </li>

<li><a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Algebra vom höheren Standpunkt</cite> (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 930). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co (Erstauflage 1939), Berlin 1952 (143 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+Algebra+vom+h%C3%B6heren+Standpunkt&rft.date=1952&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co+%28Erstauflage+1939%29&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none"> </li>

<li><a href="Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">Wolfgang Krull</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare und klassische Algebra</cite> (= <cite style="font-style:italic">Sammlung Göschen</cite>. Band 933). 1. Auflage. Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959 (132 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=Wolfgang+Krull&rft.btitle=Elementare+und+klassische+Algebra&rft.date=1959&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.series=Sammlung+G%C3%B6schen" style="display:none"> </li>

<li><a href="Nathan_Jacobson" title="Nathan Jacobson">Nathan Jacobson</a>: <cite style="font-style:italic">Basic Algebra I</cite>. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1974, ISBN 0-7167-0453-6, Kapitel 4 Galois Theory of Equations Abschnitt 4.2 Galois Group as Permutation Group of the Roots Exercise 15 („Galois“), S. 254 (472 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+4+Galois+Theory+of+Equations+Abschnitt+4.2+Galois+Group+as+Permutation+Group+of+the+Roots+Exercise+15+%28%E2%80%9EGalois%E2%80%9C%29&rft.au=Nathan+Jacobson&rft.btitle=Basic+Algebra+I&rft.date=1974&rft.genre=bookitem&rft.isbn=0716704536&rft.pages=254&rft.place=San+Francisco&rft.pub=W.+H.+Freeman+and+Company" style="display:none"> </li>

<li><a href="Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2">10.1007/978-3-662-67464-2</a> (508 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.au=Siegfried+Bosch&rft.btitle=Algebra&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67464-2&rft.edition=10.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662674635&rft.pub=Springer" style="display:none">  (Bibliographische Daten abrufbar unter <a rel="nofollow" class="external text" href="http://dnb.d-nb.de/">Deutsche Nationalbibliothek</a>)</li>

<li><a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 64 Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades, Satz im Kleindruck, S. 194 (272 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Satz+von+Abel-Ruffini&rft.atitle=Kapitel+VIII+Die+Theorie+von+Galois%27%27%2C+%C2%A7+64+%27%27Gleichungen+zweiten%2C+dritten+und+vierten+Grades%2C+Satz+im+Kleindruck&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540035613&rft.pages=194&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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